|an+1 - an|< 1/(2^n) an konv. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] {a_{n}} n\in\IN [/mm] eine reelle Folge, so dass fürr alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] |a_{n+1} [/mm] − [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{2^n}
[/mm]
Zeige, dass [mm] {a_{n}} n\in\IN [/mm] konvergiert. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Das ist die Aufgabe und ich bin bis jetzt zu folgendem Schluss gekommen:
[mm] |a_{n+1} [/mm] − [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{2^n}
[/mm]
Weil für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt, dass [mm] |a_{n+1} [/mm] − [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{2^n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n} |a_{n+1} [/mm] − [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^n}
[/mm]
Dann mit der Dreiecksungleichung
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n} |a_{n+1}| [/mm] − [mm] \summe_{i=1}^{n} |a_{n}|< \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^n}
[/mm]
Man kann die beiden Summen dann auch so ausdrücken:
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n-1} |a_{n}|< \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^n}
[/mm]
Mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] kann man dann schreiben (ist das so formal richtig?)
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{\infty-1} |a_{n}|< \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n}
[/mm]
Also
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{\infty-1} |a_{n}|< [/mm] 2
So und jetzt weiß ich leider nicht weiter. Kann ich daraus etwas machen? waren im Argumentationsweg fehler? Oder gehe ich in die falsche Richtung? Vielen Dank schonmal!
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Hallo,
Willst du zeigen, dass die Folge konvergiert, wie in der Aufgabenstellung, oder soll irgendeine Reihe konvergieren?
Das sind nämlich zwei verschiedene Dinge.
Wenn es die Reihe ist, schreibe bitte auf, wie die genau aussehen soll und ergänze dies in der Aufgabenstellung
Wenn es die Folge sein soll, habe ich hier einen Tipp für dich. Kennst du/ihr schon die Chauchy-Folgen? Und wenn ja, weisst du was passiert, wenn man eine solche Folge in [mm] \IR [/mm] hat?
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Also wir sollen zeigen, dass die Folgen an konvergiert und wissen als Hilfe dazu, dass der Betrag der Differenz von an und an+1 kleiner ist als [mm] 1/(2^n).
[/mm]
Ich war schon am überlegen, aber wie kann man das Cauchy-Kriterium bei der Differenz einer Folge ansetzen?
Der Aufgabenzettel bezieht sich ansonsten ausschließlich um Reihen (die wir gerade behandeln), daher dachte ich mir, dass man die Behauptung mithilfe einer Reihe beweisen kann...
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Sorry hatte mich verklickt und die Frage als Mitteilung gepostet. Frage noch nicht beantwortet.
Also wir sollen zeigen, dass die Folgen an konvergiert und wissen als Hilfe dazu, dass der Betrag der Differenz von an und an+1 kleiner ist als [mm] 1/(2^n). [/mm]
Ich war schon am überlegen, aber wie kann man das Cauchy-Kriterium bei der Differenz einer Folge ansetzen?
Der Aufgabenzettel bezieht sich ansonsten ausschließlich um Reihen (die wir gerade behandeln), daher dachte ich mir, dass man die Behauptung mithilfe einer Reihe beweisen kann...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Wagenlenker,
wie carlosfritz schon gesagt hat, muss du nachrechen, dass [mm] a_n [/mm] eine ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Folge ist.
Du kannst ohne weiteres davon ausgehen, das zB m>n ist.Dann addierst du ein paar mal geschickt die Null:
[mm] |a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+a_{m-2}-\dots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|
[/mm]
Dann ist es nicht mehr so weit. Kommst du hin?
LG walde
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